歷史上由勾股定理產(chǎn)生的推論和猜想

歷史上由勾股定理產(chǎn)生的推論和猜想

數(shù)學(xué)中有一句口訣大家都耳熟能詳，“勾3股4弦5”。它的意思是：直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是3和4時(shí)，它的斜邊長(zhǎng)度為5。現(xiàn)代研究認(rèn)為，最早發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的是古巴比倫人。在中國(guó)，據(jù)傳是商代的商高最早發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，《周髀算經(jīng)》里有記載，記曰：“數(shù)之法，出于圓方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”，所以叫勾股定理。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也發(fā)現(xiàn)并用演繹法證明了勾3股4弦5規(guī)律。由于歐洲文化在近現(xiàn)代的廣泛傳播，世界上將這一規(guī)律稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理。據(jù)說(shuō)發(fā)現(xiàn)和證明這個(gè)定理之后，畢達(dá)哥拉斯宰了一百頭牛來(lái)慶祝，所以又叫做百牛定理。

勾股定理的概念是：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。

在高中數(shù)學(xué)必修五教材第一章中，有余弦定理，內(nèi)容是：。從書(shū)上的原話，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的一種特殊情況。這樣，在歐幾里德平面的任意三角形中的情況都被考慮到了。

還有一種特殊的三角形，叫曲邊三角形。曲邊三角形中的邊，實(shí)際上已經(jīng)變成了曲線。它的“角度”也不是平時(shí)我們所熟知的角度了。對(duì)于曲邊三角形的性質(zhì)，我還不是很能理解。所以我產(chǎn)生的猜想僅限于直線構(gòu)成的三角形。

如果將勾股定理推廣到立體中，會(huì)怎么樣呢？

勾股定理的公式是：a²+b²=c²。有一種證明勾股定理的方法便是證明兩個(gè)正方形面積之和等于一個(gè)大正方形的面積。在立體空間中，給這三個(gè)正方形加上第三條邊使它們變成正方體，會(huì)怎么樣呢？由于原正方形滿足a²+b²=c²，所以它們的邊不會(huì)都相等，那么便不會(huì)滿足a³+b³=c³。那么，換幾個(gè)正方體就可以滿足這個(gè)公式了。
于是我取了幾組數(shù)據(jù)，a=1，b=1，c=2(1/3)；a=2，b=1，c=9(1/3)；a=2，b=2，c=16(1/3)。繼續(xù)向上方取，得a=2，b=3，c=35(1/3)；a=3，b=3，c=54(1/3)……一直向上面取，在a與b都是10以內(nèi)竟然沒(méi)有一組數(shù)據(jù)滿足三個(gè)數(shù)都是自然數(shù)。

A4+b4=c4，中，可以看作（a2）2+(b2)2=(c2)2,所以a、b、c應(yīng)當(dāng)有數(shù)據(jù)滿足三個(gè)數(shù)都是自然數(shù)。

接下來(lái)我又發(fā)現(xiàn)，a5+b5=c5，在a與b也是10以內(nèi)沒(méi)有一組數(shù)據(jù)滿足三個(gè)數(shù)都是自然數(shù)。

于是我產(chǎn)生了一個(gè)猜想：不會(huì)有任何三個(gè)自然數(shù)a、b、c滿足an+bn=cn（n為奇數(shù)）。

這個(gè)猜想其實(shí)是初三時(shí)候偶然想起的。但是后來(lái)看到了“費(fèi)爾馬大定理”，才明白我的猜想是有錯(cuò)誤的。“費(fèi)爾馬大定理”是指：an+bn=cn是不可能的（這里n大于2；a，b，c，n都是非零整數(shù)）。所以“費(fèi)爾馬大定理”中提出，在A4+b4=c4中也沒(méi)有滿足的自然數(shù),并且凡是2以后的n值都不會(huì)有。但是對(duì)于這個(gè)的理解，是我設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序之后才肯定的。

計(jì)算程序使用VB6.0企業(yè)版，現(xiàn)將代碼顯示如下：
PrivateSubCommand1_Click()
Fora=1To1000
Forb=1To1000
c=(a^4+b^4)^(1/4)
Ifc\1=cThen
End
Else
Picture1.Print0;
EndIf
Nextb
Picture1.Print
Nexta
Picture1.Cls
Picture1.Print"終止,未發(fā)現(xiàn)有符合數(shù)據(jù)"
EndSub

這個(gè)程序能夠判斷對(duì)于A4+b4=c4中，a、b在1000以內(nèi)時(shí)我的猜想是否正確。如果有三個(gè)自然數(shù)滿足，程序?qū)?huì)自動(dòng)退出；如果沒(méi)有，最后將顯示“終止，未發(fā)現(xiàn)有符合數(shù)據(jù)”字樣。實(shí)事證明費(fèi)爾馬對(duì)了而我錯(cuò)了。但1000只是無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)中無(wú)限小的一個(gè)范圍，用我這種方法，是永遠(yuǎn)證明不了費(fèi)爾馬大定理的，而只能證明在某一個(gè)范圍內(nèi)費(fèi)爾馬大定理是對(duì)的。

對(duì)于數(shù)學(xué)家們究竟使用什么方法證明“費(fèi)爾馬大定理”的，限于我知識(shí)有限，無(wú)法理解明白。1637年，法國(guó)業(yè)余大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬提出這一定理，經(jīng)過(guò)了歐拉等天才數(shù)學(xué)家的努力仍然無(wú)法全部給予證明，而只能證明n<100時(shí)的定理是正確的。最后給予完整證明的是英國(guó)著名數(shù)學(xué)家AndrewWiles（安德魯&#8226;威爾斯）。他的證明占滿了美國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，竟然長(zhǎng)達(dá)130頁(yè)，這也是要有對(duì)數(shù)學(xué)的極度癡迷和耐心才能夠做出來(lái)的偉大的成績(jī)。